Question

【題目】如圖1，延長⊙O的直徑AB至點C，使得BC=AB，點P是⊙O上半部分的一個動點（點P不與A、B重合），連結OP，CP．

（1）∠C的最大度數為 　；

（2）當⊙O的半徑為3時，△OPC的面積有沒有最大值？若有，說明原因并求出最大值；若沒有，請說明理由；

（3）如圖2，延長PO交⊙O于點D，連結DB，當CP=DB時，求證：CP是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）有最大值為9，理由見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）當PC與⊙O相切時，∠OCP的度數最大，根據切線的性質即可求得；

（2）由△OPC的邊OC是定值，得到當OC邊上的高為最大值時，△OPC的面積最大，當PO⊥OC時，取得最大值，即此時OC邊上的高最大，于是得到結論；

（3）根據全等三角形的性質得到AP=DB，根據等腰三角形的性質得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根據全等三角形的性質得到∠CPO=∠APB，根據圓周角定理得到∠APB=90°，即可得到結論．

試題解析：（1）當PC與⊙O相切時，∠OCP最大．如圖1，所示：

∵sin∠OCP===，∴∠OCP=30°

∴∠OCP的最大度數為30°，

故答案為：30°；

（2）有最大值，理由：

∵△OPC的邊OC是定值，∴當OC邊上的高為最大值時，△OPC的面積最大，

而點P在⊙O上半圓上運動，當PO⊥OC時，取得最大值，即此時OC邊上的高最大，

也就是高為半徑長，∴最大值S△OPC=OCOP=×6×3=9；

（3）連結AP，BP，如圖2，

在△OAP與△OBD中， ，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，

∵PC=DB，∴AP=PC，

∵PA=PC，∴∠A=∠C，

∵BC=AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，

在△APB和△CPO中， ，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，

∵AB為直徑，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，

∴PC切⊙O于點P，即CP是⊙O的切線．