Question

【題目】關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0．

（1）若方程有實數根，求實數m的取值范圍；

（2）設x1，x2分別是方程的兩個根，且滿足x12+x22=x1x2+10，求實數m的值．

Answer 1

【答案】（1）m≤﹣；（2）m=﹣2．

【解析】

試題分析：（1）若一元二次方程有兩實數根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍；

（2）利用根與系數的關系可以得到x1+x2=2m﹣1，x1x2=m2+1，再把x12+x22=x1x2+10利用完全平方公式變形為（x1+x2）2﹣3x1x2=10，然后代入計算即可求解．

試題解析：（1）由題意有△=（2m﹣1）2﹣4（m2+1）≥0，

解得m≤﹣，

所以實數m的取值范圍是m≤﹣；

（2）由根與系數的關系得：x1+x2=2m﹣1，x1x2=m2+1，

∵x12+x22=x1x2+10，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=x1x2+10，

∴（2m﹣1）2﹣3（m2+1）=10，

∴2m2+9m﹣5=0，

解得m1=6，m2=﹣2，

∵m≤﹣，

∴m=6舍去，

∴m=﹣2．