Question

【題目】如圖，在中，，，點為直線上一點，點為延長線上一點，且，連結、、．

（1）求證：；

（2）若，求的度數．

（3）若點是的外心，當點在直線的一個位置運動到另一個位置時，點恰好在的內部，請直接寫出點走過的距離為_____．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或；（3）

【解析】

（1）根據SAS即可證得結論；

（2）分兩種情況，由∠BAC得到∠BAD，求出∠BDA，根據即可得到答案；

（3）當點D在CB延長線上時，且當DB=CB時，△CAD的外心P與頂點B重合，當點D向點B移動時，點P在△ABC的內部，當點D與點B重合時，點P恰好在AC的中點，由此根據三角函數求出點P走過的距離即可.

（1）∵，

∴∠CBE=,

∵AB=CB，BD=BE，

∴；

（2）當點D在線段BC上時，

∵，，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∵,

∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=30°，

∴∠BDA=90°-∠BAD=60°，

∵,

∴=∠BDA=60°；

當點D在BC延長線上時，如圖，

∵∠BAD=45°+15°=60°，

∴∠BDA=90°-∠BAD=30°，

∴=∠BDA=30°；

故答案為：或；

（3）當點D在CB延長線上時，且當DB=CB時，△CAD的外心P與頂點B重合，當點D向點B移動時，點P在△ABC的內部，當點D與點B重合時，點P恰好在AC的中點，

設AC的中點是點E，連接BE，則BE即為點D運動時點P走過的距離，

∵AB=AC，，

∴BE⊥AC，

∴∠AEB=90°，

∴=，

故答案為：.