Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+e與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）、點(diǎn)B（9，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接AD、DB，點(diǎn)P為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，過點(diǎn)P作BD的平行線，交AB于點(diǎn)Q，連接DQ，設(shè)AQ=m，△PDQ的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，以及S的最大值；

（3）如圖2，拋物線對(duì)稱軸與x軸交與點(diǎn)G，E為OG的中點(diǎn)，F(xiàn)為點(diǎn)C關(guān)于DG對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線EF、DG的垂線，垂足為M、N，連接MN，直接寫出△PMN為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a=﹣ ，拋物線與x軸交與點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（9，0），

∴可以假設(shè)拋物線解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣9）=﹣ x2+ x+6，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+6，

（2）

解：∵y=﹣ x2+ x+6=﹣ （x﹣3）2+8，

∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)（3，8），

∵AD=DB=10，

∴∠DAB=∠DBA，

∵PQ∥BD，

∴∠PQA=∠DBA，

∴∠PAQ=∠PQA，

∴PA=PQ，

∴△PAQ為等腰三角形，

作PH⊥AQ于H，則AH=HQ= （如圖1中），

∴tan∠DAB= = ，

∴PH= m，

∴S=S△ADQ﹣S△APQ= m8﹣ m m=﹣ m2+4m=﹣ （m﹣6）2+12，

∴當(dāng)m=6時(shí)，S最大值=12．

（3）

解：∵E（ ，0），F(xiàn)（6，6），

∴直線EF解析式為y= x﹣2，直線AD解析式為y= x+4，

∴EF∥AD，作EL⊥AD于L，（如圖2中）

∵AE= ，sin∠DAB= ，

∴LE= × = =PM，

①PM=PN= 時(shí)，

∴xP=3﹣ =﹣ ，yP=﹣ × +4= ，

∴P（﹣ ， ），

∴直線PM解析式為y=﹣ x+ ，

由 ，解得 ，

∴點(diǎn)M（ ， ）

∴EM= = ．

②NP=NM時(shí)，設(shè)直線EF與對(duì)稱軸交于點(diǎn)K，K（3，2），

此時(shí)點(diǎn)N在PM的垂直平分線上，DN=NK，

∴N（3，5），P（ ，5），

∴直線PM的解析式為y=﹣ x+ ，

由 ，解得 ，

∴M（ ， ），

∴EM= = ，

③PM=MN時(shí)，cos∠MPN= = ，

∴PN= ，由此可得P（﹣ ， ），

∴直線PM解析式為y=﹣ x﹣ ，

由 解得 ，

∴M（ ，﹣ ），

∴EM= = ．

綜上所述，EM= 或 或 ．

【解析】（1）可以假設(shè)拋物線解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣9），展開化簡(jiǎn)即可．（2）作PH⊥AQ于H，則AH=HQ= （如圖1中），根據(jù)S=S△ADQ﹣S△APQ構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．（3）分三種情形討論①PM=PN，②NP=NM，③MN=MP，分別求出直線PM的解析式，利用方程組求出點(diǎn)M坐標(biāo)即可解決問題．