Question

如圖，正方形AOCB的邊長為4，點C在x軸上，點A在y軸上，E是AB的中點．
（1）直接寫出點C、E的坐標；
（2）求直線EC的解析式；
（3）若點P是直線EC在第一象限的一個動點，當點P運動到什么位置時，圖中存在與△AOP全等的三角形？請畫出所有符合條件的圖形，說明全等的理由，并求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的邊長來求點C的橫坐標，由E點是AB的中點求其橫坐標是正方形邊長AB4的一半，縱坐標是正方形邊長AO的長度4；
（2）根據函數圖象上的點的坐標特征解答．設直線EC的解析式為：y=kx+b（k≠0），然后將C、E兩點代入，由待定系數法求解析式即可；
（3）要使所求的三角形與△AOP全等，當P與點E、C重合時，或點P在∠AOC的角平分線與EC的交點時．

解答：解：（1）C（4，0）、E（2，4）；

（2）設直線EC的解析式為：y=kx+b（k≠0）．
∵點C（4，0）、E（2，4）在該函數圖象上，
∴點C（4，0）、E（2，4）滿足該函數的解析式y=kx+b（k≠0），
∴

0=4k+b 4=2k+b

，
解得，

k=-2 b=8

，
∴直線EC的解析式為：y=-2x+8；

（3）當P與點E、C重合時，或點P在∠AOC的角平分線與EC的交點時，圖中存在與△AOP全等的三角形（如圖所示）；
證明：①當P與點E重合時．
在△AOE和△ECB中，
AO=BC（正方形的邊長都相等），
AE=BE（E點是AB的中點），
∠OAE=∠CBE=90°（正方形的四個角都是直角），
∴△AOE≌△ECB，即△AOP≌△PCB（HL）；
此時P（2，4）；
②當P與點C重合時，不符合題意；
③當點P在∠AOC的角平分線與EC的交點時．
在△AOP與△COP中，
OA=OC（正方形的邊長），
OP=PO（公共邊），
∠AOP=∠COP，
∴△AOP≌△COP（SAS）；
∴PA=PC（全等三角形的對應邊相等）；
∵點P在直線EC上，
∴設P（x，-2x+8），
∴x²+（-2x+4）²=（x-4）²+（-2x+8）²，
解得，x=

8

3

；
∴-2x+8=

8

3

，
∴P（

8

3

，

8

3

）．

點評：本題主要考查了一次函數綜合題．本題需利用待定系數法和全等三角形的性質來解決問題，另外本題也是一道綜合性較強的題目，解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．