Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，點D是邊AC上的一動點，過點D作DE∥AB交邊BC于點E，過點B作BF⊥BC交DE的延長線于點F，分別以DE，EF為對角線畫矩形CDGE和矩形HEBF，則在D從A到C的運動過程中，當矩形CDGE和矩形HEBF的面積和最小時，AD的長度為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用勾股定理求得AC＝3，設DC＝x，則AD＝3﹣x，利用平行線分線段成比例定理求得CE＝進而求得BE＝4﹣，然后根據S陰＝S矩形CDGE+S矩形HEBF得到S陰＝x2﹣8x+12，根據二次函數的性質即可求得．

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，

∴AC＝＝3，

設DC＝x，則AD＝3﹣x，

∵DF∥AB，

∴＝，即＝，

∴CE＝

∴BE＝4﹣，

∵矩形CDGE和矩形HEBF，

∴AD∥BF，

∴四邊形ABFD是平行四邊形，

∴BF＝AD＝3﹣x，

則S陰＝S矩形CDGE+S矩形HEBF＝DCCE+BEBF＝xx+（3﹣x）（4﹣x）＝x2﹣8x+12，

∵＞0，∴當x＝﹣＝時，有最小值，

∴DC＝，有最小值，即AD＝3﹣＝時，矩形CDGE和矩形HEBF的面積和最小，

故答案為．