Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是G，過點B作BE⊥CG，垂足為E，且在AD上，BE交PC于點F，那么下列選項正確的是（ ）

①BP=BF；②如圖1，若點E是AD的中點，那么△AEB≌△DEC；③當AD=25，且AE＜DE時，則DE=16；④在③的條件下，可得sin∠PCB=；⑤當BP=9時，BEEF=108.

A.①②③④B.①②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】

易證BE∥PG可得∠FPG=∠PFB，再由折疊的性質得∠FPB=∠FPG，所以∠FPB=∠PFB，根據等邊對等角即可判斷①；由矩形的性質得∠A=∠D=90°，AB=CD，用SAS即可判定全等，從而判斷②；證明△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求出DE，從而判斷③；證明△ECF∽△GCP，進而求出PC，即可得到sin∠PCB的值，從而判斷④；證明△GEF∽△EAB，利用對應邊成比例可得出結論，從而判斷⑤.

①∵四邊形ABCD為矩形，頂點B的對應點是G，

∴∠G=90°，即PG⊥CG，

∵BE⊥CG

∴BE∥PG

∴∠FPG=∠PFB

由折疊的性質可得∠FPB=∠FPG，

∴∠FPB=∠PFB

∴BP=BF，故①正確；

②∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠A=∠D=90°，AB=DC

又∵點E是AD的中點，

∴AE=DE

在△AEB和△DEC中，

∴△AEB≌△DEC（SAS），故②正確；

③當AD=25時，

∵∠BEC=90°，

∴∠AEB+∠CED=90°，

∵∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠CED=∠ABE，

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△DEC，

∴，即，

解得AE=9或16，

∵AE＜DE，

∴AE=9，DE=16，故③正確；

④在Rt△ABE中，

在Rt△CDE中，

由①可知BE∥PG，

∴△ECF∽△GCP

∴

設BP=BF=PG=a，則EF=BE-BF=15-a，

由折疊性質可得CG=BC=25，

∴，解得，

在Rt△PBC中，

∴sin∠PCB=，故④錯誤.

⑤如圖，連接FG，

∵∠GEF=∠PGC=90°，
∴∠GEF+∠PGC=180°，
∴BF∥PG
∵BF=PG，
∴四邊形BPGF是菱形，
∴BP∥GF，GF=BP=9
∴∠GFE=∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴
∴BEEF=ABGF=12×9=108，故⑤正確；

①②③⑤正確，故選C.