Question

如圖，a、b兩數在數軸上對應點的位置如圖所示：

（1）在數軸上標出-a、-b對應的點，并將a、b、-a、-b用“＜”連接起來；
（2）化簡：|2（-a+1）|-|b-2|+2|a-b|；
（3）x是數軸上的一個數，試討論：x為有理數時，|x+1|+|x-2|是否存在最小值，若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）

-b＜a＜-a＜b；

（2）∵-a+1＞0，b-2＜0，a-b＜0，
∴|2（-a+1）|-|b-2|+2|a-b|，
=2（-a+1）-[-（b-2）]+2[-（a-b）]，
=-4a+3b；

（3）|x+1|+|x-2|存在最小值，最小值為3．
當x＜-1時，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+1；
當-1≤x≤2時，|x+1|+|x-2|=x+1-x+2=3；
當x＞2時，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1；
∴|x+1|+|x-2|存在最小值，最小值為3．
分析：（1）在數軸上標出-a、-b對應的點，比較直觀的可以將a、b、-a、-b用“＜”連接起來；
（2）讀數軸得出a、b的取值，從而確定-a+1＞0，b-2＜0，a-b＜0，根據絕對值的定義可求解；
（3）可分類討論：當x＜-1，-1≤x≤2，x＞2時，化簡原式取最小值．
點評：此題綜合考查了數軸、絕對值的有關內容，用幾何方法借助數軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現了數形結合的優點．