Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M是拋物線上在x軸下方的動點，過M作MN∥y軸交直線BC于點N，求線段MN的最大值；

（3）E是拋物線對稱軸上一點，F是拋物線上一點，是否存在以A，B，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）存在．點F的坐標為（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．

【解析】

（1）由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）設出點M的坐標以及直線BC的解析式，由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，結合點M的坐標即可得出點N的坐標，由此即可得出線段MN的長度關于m的函數關系式，再結合點M在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數的性質即可解決最值問題；
（3）討論：當以AB為對角線，利用EA=EB和四邊形AFBE為平行四邊形得到四邊形AFBE為菱形，則點F也在對稱軸上，即F點為拋物線的頂點，所以F點坐標為（-1，-4）；當以AB為邊時，根據平行四邊形的性質得到EF=AB=4，則可確定F的橫坐標，然后代入拋物線解析式得到F點的縱坐標．

解：（1）將點B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=x2+bx+c中，

得： ，

解得：．

故拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）設點M的坐標為（m，m2﹣4m+3），設直線BC的解析式為y=kx+3，

把點B（3，0）代入y=kx+3中，

得：0=3k+3，解得：k=﹣1，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

∵MN∥y軸，

∴點N的坐標為（m，﹣m+3）．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的對稱軸為x=2，

∴點（1，0）在拋物線的圖象上，

∴1＜m＜3．

∵線段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，

∴當m=時，線段MN取最大值，最大值為．

（3）存在．點F的坐標為（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．

當以AB為對角線，如圖1，

∵四邊形AFBE為平行四邊形，EA=EB，

∴四邊形AFBE為菱形，

∴點F也在對稱軸上，即F點為拋物線的頂點，

∴F點坐標為（2，﹣1）；

當以AB為邊時，如圖2，

∵四邊形AFBE為平行四邊形，

∴EF=AB=2，即F2E=2，F1E=2，

∴F1的橫坐標為0，F2的橫坐標為4，

對于y=x2﹣4x+3，

當x=0時，y=3；

當x=4時，y=16﹣16+3=3，

∴F點坐標為（0，3）或（4，3）．

綜上所述，F點坐標為（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．