Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，直線l：x=1，點A（2，0），點E，點F，點M都在直線l上，且點E和點F關于點M對稱，直線EA與直線OF交于點P．
（Ⅰ）若點M的坐標為（1，﹣1），
①當點F的坐標為（1，1）時，如圖，求點P的坐標；
②當點F為直線l上的動點時，記點P（x，y），求y關于x的函數解析式．
（Ⅱ）若點M（1，m），點F（1，t），其中t≠0，過點P作PQ⊥l于點Q，當OQ=PQ時，試用含t的式子表示m．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）①∵點O（0，0），F（1，1），

∴直線OF的解析式為y=x．

設直線EA的解析式為：y=kx+b（k≠0）、

∵點E和點F關于點M（1，﹣1）對稱，

∴E（1，﹣3）．

又∵A（2，0），點E在直線EA上，

∴ ，

解得 ，

∴直線EA的解析式為：y=3x﹣6．

∵點P是直線OF與直線EA的交點，則 ，

解得 ，

∴點P的坐標是（3，3）．

②由已知可設點F的坐標是（1，t）．

∴直線OF的解析式為y=tx．

設直線EA的解析式為y=cx+d（c、d是常數，且c≠0）．

由點E和點F關于點M（1，﹣1）對稱，得點E（1，﹣2﹣t）．

又點A、E在直線EA上，

∴ ，

解得 ，

∴直線EA的解析式為：y=（2+t）x﹣2（2+t）．

∵點P為直線OF與直線EA的交點，

∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．

則有 y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直線OF的解析式為y=tx．

直線EA的解析式為y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．

∵點P為直線OF與直線EA的交點，

∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），

化簡，得 x=2﹣ ．

有 y=tx=2t﹣ ．

∴點P的坐標為（2﹣ ，2t﹣ ）．

∵PQ⊥l于點Q，得點Q（1，2t﹣ ），

∴OQ2=1+t2（2﹣ ）2，PQ2=（1﹣ ）2，

∵OQ=PQ，

∴1+t2（2﹣ ）2=（1﹣ ）2，

化簡，得 t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．

又∵t≠0，

∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，

解得 m= 或m= ．

則m= 或m= 即為所求．

【解析】（Ⅰ）①根據題意可知直線OF是正比例函數，根據點F的坐標，利用待定系數法可求出此函數的解析式；再根據點F、點M的坐標及點E和點F關于點M對稱，可求出點E的坐標，利用待定系數法由點A、點E的坐標就可求得直線AE的函數解析式；再由兩直線聯立方程組，解方程組即可求出點P的坐標；②由已知可設點F的坐標是（1，t），設直線OF的解析式為y=tx，設直線EA的解析式為y=cx+d，再根據軸對稱的性質得出點E的坐標，再將A、E的坐標代入函數解析式，即可求出直線AE的函數解析式；根據點P為直線OF與直線EA的交點，將兩函數解析式聯立方程組，即可求出t的值，就得到y關于x的函數解析式。
（Ⅱ）由直線OF的解析式和直線EA的解析式聯立方程組，求出交點P的坐標，根據PQ⊥l于點Q，分別求出OQ2，PQ2，再根據OQ=PQ，即可求出m的值。