Question

附加題
（1）若方程x2-

k-1

x-1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍

 

．
（2）已知3-

2

的整數部分是a，小數部分是b，則a+b+

2

b

的值是

 

．
（3）如圖①，已經正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，連接EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F．
①求證：OE=OF．
②如圖②，若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，交DB的延長線于點F，其它條件不變，則結論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由△＞0以及被開方數k-1≥0，即可確定k的取值范圍；
（2）由1＜

2

＜2，確定a、b的值，再代入計算；
（3）①證明△AOF≌△BOE即可；②同樣成立，需要證明三角形全等．

解答：解：
（1）由題意得△=k-1+4＞0，k-1≥0，
即k＞-3，k≥1，
∴k≥1；

（2）∵1＜

2

＜2，
∴a=1，b=3-

2

-1=2-

2

，
∴a+b+

2

b

=3-

2

+

2

2- 2

=3-

2

+2+

2

=5；

（3）①∵正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AM⊥BE，
∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°，
∵∠AFO=∠BFM（對頂角相等），
∴∠OAF=∠OBE（等角的余角相等），
又∵OA=OB（正方形的對角線互相垂直平分且相等），
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF．
②成立．
理由如下：
∠AOF=∠BOE=90°，OA=OB，（證法同①），
∵∠ABC=90°，
∴∠EBC+∠ABM=90°，
∵∠ABM+∠BAF=90°，
∴∠EBC=∠BAF，
又∵∠OAB=∠OBC=45°，
∴∠OAM=∠OBE，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF．

點評：此題綜合性較強，考查了根的判別式、直角三角形、正方形的性質和三角形全等的判定等知識點．