Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AD長為6，AB是弦，∠A=30°，CD∥AB，且CD=．

（1）求∠C的度數；

（2）求證：BC是⊙O的切線；

（3）求陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）∠C=60°；（2）證明見解析；（3）S陰影=3π-．

【解析】試題分析：（1）連接BD，由AD為圓的直徑，得到∠ABD為直角，再利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BD的長，根據CD與AB平行，得到一對內錯角相等，確定出∠CDB為直角，在直角三角形BCD中，利用銳角三角函數定義求出tanC的值，即可確定出∠C的度數；

（2）連接OB，由OA=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由CD與AB平行，得到一對同旁內角互補，求出∠ABC度數，由∠ABC-∠ABO度數確定出∠OBC度數為90，即可得證；

（3）過O作OE⊥AB，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OE的長，根據勾股定理求出AE的長，進而求出AB的長，確定出三角形OAB面積，再由扇形AOB面積減去三角形AOB面積求出陰影部分面積即可．

試題解析：（1）如圖，連接BD，

∵AD為圓O的直徑，

∴∠ABD=90°，

∴BD=AD=3，

∵CD∥AB，∠ABD=90°，

∴∠CDB=∠ABD=90°，

在Rt△CDB中，tanC===，

∴∠C=60°；

（2）證明：連接OB，

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠A=30°，

∵CD∥AB，∠C=60°，

∴∠ABC=180°-∠C=120°，

∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=120°-30°=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC為圓O的切線；

（3）解：過點O作OE⊥AB，則有OE=OA=，

∵AB===3，

∴S△OAB=ABOE=×3×=，

∵∠AOB=180°-2∠A=120°，

∴S扇形OAB==3π，

則S陰影=S扇形OAB-S△AOB=3π-．