Question

21、我們在解決數學問題時，經常采用“轉化”（或“化歸”）的思想方法，把待解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已解決或比較容易解決的問題．
譬如，在學習了一元一次方程的解法以后，進一步研究二元一次方程組的解法時，我們通常采用“消元”的方法，把二元一次方程組轉化為一元一次方程；再譬如，在學習了三角形內角和定理以后，進一步研究多邊形的內角和問題時，我們通常借助添加輔助線，把多邊形轉化為三角形，從而解決問題．
問題提出：如何把一個正方形分割成n（n≥9）個小正方形？
為解決上面問題，我們先來研究兩種簡單的“基本分割法”．
基本分割法1：如圖①，把一個正方形分割成4個小正方形，即在原來1個正方形的基礎上增加了3個正方形．
基本分割法2：如圖②，把一個正方形分割成6個小正方形，即在原來1個正方形的基礎上增加了5個正方形．

問題解決：有了上述兩種“基本分割法”后，我們就可以把一個正方形分割成n（n≥9）個小正方形．
（1）把一個正方形分割成9個小正方形．
一種方法：如圖③，把圖①中的任意1個小正方形按“基本分割法2”進行分割，就可增加5個小正方形，從而分割成4+5=9（個）小正方形．
另一種方法：如圖④，把圖②中的任意1個小正方形按“基本分割法1”進行分割，就可增加3個小正方形，從而分割成6+3=9（個）小正方形．
（2）把一個正方形分割成10個小正方形．
方法：如圖⑤，把圖①中的任意2個小正方形按“基本分割法1”進行分割，就可增加3×2個小正方形，從而分割成4+3×2=10（個）小正方形．
（3）請你參照上述分割方法，把圖⑥給出的正方形分割成11個小正方形（用鋼筆或圓珠筆畫出草圖即可，不用說明分割方法）
（4）把一個正方形分割成n（n≥9）個小正方形．
方法：通過“基本分割法1”、“基本分割法2”或其組合把一個正方形分割成9個、10個和11個小正方形，再在此基礎上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3個小正方形，從而把一個正方形分割成12個、13個、14個小正方形，依次類推，即可把一個正方形分割成n（n≥9）個小正方形．
從上面的分法可以看出，解決問題的關鍵就是找到兩種基本分割法，然后通過這兩種基本分割法或其組合把正方形分割成n（n≥9）個小正方形．
類比應用：仿照上面的方法，我們可以把一個正三角形分割成n（n≥9）個小正三角形．
（1）基本分割法1：把一個正三角形分割成4個小正三角形（請你在圖a中畫出草圖）；
（2）基本分割法2：把一個正三角形分割成6個小正三角形（請你在圖b中畫出草圖）；
（3）分別把圖c、圖d和圖e中的正三角形分割成9個、10個和11個小正三角形（用鋼筆或圓珠筆畫出草圖即可，不用說明分割方法）；

（4）請你寫出把一個正三角形分割成n（n≥9）個小正三角形的分割方法（只寫出分割方法，不用畫圖）．

Answer 1

分析：（3）按“基本分割2”進行兩次即可；
（4）類比應用：
①基本分割法1即利用正三角形的3條中位線把一個正三角形分割成4個小正三角形；
②基本分割法2即作正三角形的一條中位線，將其分割成一個小正三角形和梯形，再利用梯形上底的中點和下底的三等分點，將梯形分割成5個正三角形，從而把一個正三角形分割成6個小正三角形；
③圖c分別按基本分割1和基本分割2各進行一次即可；
圖d分別按基本分割1進行3次即可；
圖e分別按基本分割2進行2次即可；
④類比正方形的分割中的第（4）小題，即可作出答案：
通過“基本分割法1”、“基本分割法2”或其組合把一個正三角形分割成9個、10個和11個小正方形，再在此基礎上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3個小正三角形，從而把一個正三角形分割成12個、13個、14個小正方形，依次類推，即可把一個正三角形分割成n（n≥9）個小正三角形．

解答：解：（1）把一個正方形分割成11個小正方形：
（2分）
（2）把一個正三角形分割成4個小正三角形：
（3分）
（3）一個正三角形分割成6個小正三角形：
（5分）
（4）把一個正三角形分割成9個、10個和11個小正三角形：
（8分）
把一個正三角形分割成n（n≥9）個小正三角形的分割方法：通過“基本分割法1”、“基本分割法2”或其組合，把一個正三角形分割成9個、10個和11個小正三角形，再在此基礎上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3個小正三角形，從而把一個正三角形分割成12個、13個、14個小正三角形，依次類推，即可把一個正三角形分割成n（n≥9）個小正三角形．（10分）

點評：本題一方面考查了學生的動手操作能力，另一方面考查了學生的空間想像能力，重視知識的發生過程，讓學生體驗學習的過程．