Question

【題目】如圖,∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線交與點D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F.若AB=10，AC=8.

(1)求證：CF=BE；

(2) 求BE長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE＝1.

【解析】

（1）連CD、BD，根據角平行線的性質定理得到DE＝DF，根據線段垂直平分線的性質得到CD＝BD，則可利用“HL“證明Rt△CDF≌Rt△BDE，從而得到CF=BE；

（2）先證明Rt△ADF≌Rt△ADE得到AE＝AF，設BE＝CF＝x，則AE＝10x，AF＝8＋x，進而列出方程求出x即可.

解：（1）連CD、BD，

∵AD平分∠BAE，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

又∵DG垂直平分BC，

∴CD＝BD，

在Rt△CDF和Rt△BDE中，，

∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），

∴CF=BE；

（2）在Rt△ADF和Rt△ADE中，，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），

∴AE＝AF，

設BE＝CF＝x，則AE＝10x，

∵AF＝AC＋CF＝8＋x，

∴8＋x＝10x，

解得x＝1，即BE＝1．