Question

（2013•沈陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=

8 2

5

x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（

3

2

，0）和點(diǎn)B（1，2

2

），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D在對(duì)稱軸的右側(cè)，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E，連接AE．
①判斷四邊形OAEB的形狀，并說(shuō)明理由；
②點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是直線BD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M與點(diǎn)B不重合，當(dāng)∠BMF=

1

3

∠MFO時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x軸，點(diǎn)B與點(diǎn)D縱坐標(biāo)相同，解一元二次方程求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）①由BE與OA平行且相等，可判定四邊形OAEB為平行四邊形；
②點(diǎn)M在點(diǎn)B的左右兩側(cè)均有可能，需要分類討論．綜合利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，求出線段BM的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）將A（

3

2

，0）、B（1，2

2

）代入拋物線解析式y(tǒng)=

8 2

5

x²+bx+c，得：

8 2 5 × 9 4 + 3 2 b+c=0 8 2 5 +b+c=2 2

，
解得：

b=-8 2 c= 42 2 5

．
∴y=

8 2

5

x²-8

2

x+

42 2

5

．

（2）當(dāng)∠BDA=∠DAC時(shí)，BD∥x軸．
∵B（1，2

2

），
當(dāng)y=2

2

時(shí)，2

2

=

8 2

5

x²-8

2

x+

42 2

5

，
解得：x=1或x=4，
∴D（4，2

2

）．

（3）①四邊形OAEB是平行四邊形．
理由如下：拋物線的對(duì)稱軸是x=

5

2

，
∴BE=

5

2

-1=

3

2

．
∵A（

3

2

，0），
∴OA=BE=

3

2

．
又∵BE∥OA，
∴四邊形OAEB是平行四邊形．
②∵O（0，0），B（1，2

2

），F(xiàn)為OB的中點(diǎn)，∴F（

1

2

，

2

）．
過(guò)點(diǎn)F作FN⊥直線BD于點(diǎn)N，則FN=2

2

-

2

=

2

，BN=1-

1

2

=

1

2

．
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF=

BN2+FN2

=

3

2

．
∵∠BMF=

1

3

∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，
∴∠FBM=2∠BMF．
（I）當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B右側(cè)時(shí)．
在直線BD上點(diǎn)B左側(cè)取一點(diǎn)G，使BG=BF=

3

2

，連接FG，則GN=BG-BN=1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG=

GN2+FN2

=

3

．
∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，
∴△GFB∽△GMF，
∴

GM

GF

=

GF

GB

，即

3 2 +BM

3

=

3

3 2

，
∴BM=

1

2

；
（II）當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B左側(cè)時(shí)．
設(shè)BD與y軸交于點(diǎn)K，連接FK，則FK為Rt△KOB斜邊上的中線，
∴KF=

1

2

OB=FB=

3

2

，
∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，
∴∠BMF=∠MFK，
∴MK=KF=

3

2

，
∴BM=MK+BK=

3

2

+1=

5

2

．
綜上所述，線段BM的長(zhǎng)為

1

2

或

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中考?jí)狠S題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四邊形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（3）②問(wèn)，滿足條件的點(diǎn)M可能有兩種情形，需要分類討論，分別計(jì)算，避免漏解．