Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且對稱軸為x=﹣2，點P（0，t）是y軸上的一個動點．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標．

（2）如圖1，當0≤t≤4時，設△PAD的面積為S，求出S與t之間的函數關系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此時t的值．

（3）如圖2，當點P運動到使∠PDA=90°時，Rt△ADP與Rt△AOC是否相似？若相似，求出點P的坐標；若不相似，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x+2）2+4，頂點D的坐標為（﹣2，4）；(2)S=﹣2t+12，t=4時，S有最小值，最小值4；(3) 點P的坐標為（0，2）.

【解析】（1）對稱軸為x=﹣=﹣2，

解得b=﹣1，

所以，拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3，

∵y=﹣x2﹣x+3=﹣（x+2）2+4，

∴頂點D的坐標為（﹣2，4）；

（2）令y=0，則﹣x2﹣x+3=0，

整理得，x2+4x﹣12=0，

解得x1=﹣6，x2=2，

∴點A（﹣6，0），B（2，0），

如圖1，過點D作DE⊥y軸于E，

∵0≤t≤4，

∴△PAD的面積為S=S梯形AOED﹣S△AOP﹣S△PDE，

=×（2+6）×4﹣×6t﹣×2×（4﹣t），

=﹣2t+12，

∵k=﹣2＜0，

∴S隨t的增大而減小，

∴t=4時，S有最小值，最小值為﹣2×4+12=4；

（3）如圖2，過點D作DF⊥x軸于F，

∵A（﹣6，0），D（﹣2，4），

∴AF=﹣2﹣（﹣6）=4，

∴AF=DF，

∴△ADF是等腰直角三角形，

∴∠ADF=45°，

由二次函數對稱性，∠BDF=∠ADF=45°，

∴∠PDA=90°時點P為BD與y軸的交點，

∵OF=OB=2，

∴PO為△BDF的中位線，

∴OP=DF=2，

∴點P的坐標為（0，2），

由勾股定理得，DP==2，

AD=AF=4，

∴==2，

令x=0，則y=3，

∴點C的坐標為（0，3），OC=3，

∴==2，

∴=，

又∵∠PDA=90°，∠COA=90°，

∴Rt△ADP∽Rt△AOC．