Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A、C分別在x軸、y軸上，反比例函數y=（k≠0，x＞0）的圖象與正方形OABC的兩邊AB、BC分別交于點M、N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM、ON、MN，則下列選項中的結論錯誤的是（　　）

A. △ONC≌△OAM

B. 四邊形DAMN與△OMN面積相等

C. ON=MN

D. 若∠MON=45°，MN=2，則點C的坐標為（0，+1）

Answer 1

【答案】C

【解析】根據反比例函數的比例系數的幾何意義得到S△ONC=S△OAM=k，即OCNC=OAAM，而OC=OA，則NC=AM，再根據“SAS”可判斷△OCN≌△OAM；根據S△OND=S△OAM=k和S△OND+S四邊形DAMN=S△OAM+S△OMN，即可得到S四邊形DAMN=S△OMN；

根據全等的性質得到ON=OM，由于k的值不能確定，則∠MON的值不能確定，無法確定△ONM為等邊三角形，則ON≠MN；作NE⊥OM于E點，則△ONE為等腰直角三角形，設NE=x，則OM=ON=x，EM=x-x=（-1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2=2+，所以ON2=（x）2=4+2，易得△BMN為等腰直角三角形，得到BN=MN=，設正方形ABCO的邊長為a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值為+1，從而得到C點坐標為（0，+1）．

∵點M、N都在y=的圖象上，

∴S△ONC=S△OAM=k，即OCNC=OAAM，

∵四邊形ABCO為正方形，

∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，

∴NC=AM，

∴△OCN≌△OAM，

∴A正確；

∵S△OND=S△OAM=k，

而S△OND+S四邊形DAMN=S△OAM+S△OMN，

∴四邊形DAMN與△MON面積相等，

∴B正確；

∵△OCN≌△OAM，

∴ON=OM，

∵k的值不能確定，

∴∠MON的值不能確定，

∴△ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形，

∴ON≠MN，

∴C錯誤；

作NE⊥OM于E點，如圖所示：

∵∠MON=45°，∴△ONE為等腰直角三角形，

∴NE=OE，

設NE=x，則ON=x，

∴OM=x，

∴EM=x-x=（ -1）x，

在Rt△NEM中，MN=2，

∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（ -1）x]2，

∴x2=2+，

∴ON2=（x）2=4+2，

∵CN=AM，CB=AB，

∴BN=BM，

∴△BMN為等腰直角三角形，

∴BN=MN=，

設正方形ABCO的邊長為a，則OC=a，CN=a-，

在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，

∴a2+（a-）2=4+2，解得a1=+1，a2=-1（舍去），

∴OC=+1，

∴C點坐標為（0，+1），

∴D正確．

故選：C．