Question

【題目】已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=3，CB=4，設P，Q分別為AB邊，CB邊上的動點，它們同時分別從A，C出發，以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，設P，Q運動的時間為t秒．

（1）求△CPQ的面積S與運動時間t之間的函數關系式，并求出S的最大值．
（2）t為何值時，△CPQ為直角三角形．
（3）①探索：△CPQ是否可能為正三角形，說明理由．
②P，Q兩點同時出發，若點P的運動速度不變，試改變點Q的運動速度，使△CPQ為正三角形，求出點Q的運動速度和此時的t值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，

∵∠ACB=90°，CA=3，CB=4，

∴AB= =5，

∵AP=t，

∴AD= t，PD= t，

∴PE=DC=3﹣ t，

∴S= ×t×（3﹣ t）=﹣ t2+ t，

∵S=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴S的最大值為 ；

（2）

解：只有當PC2+PQ2=CQ2時，△CPQ為直角三角形，

∴（ t）2+（3﹣ t）2+（3﹣ t）2+（t﹣ t）2=t2，

解得，t1=3，t2=15（舍去），

∴當t=3時，△CPQ為直角三角形；

（3）

①△CPQ不可能為正三角形，

理由如下：若△CPQ是正三角形，

則PC=PQ，EC=EQ，即t﹣ t= t，

解得，t=0，

∴△CPQ不可能為正三角形；

②設點Q的運動速度為a，

當CE=EQ時，即 t=at﹣ t，

解得，a= ，

∵∠PCQ=60°，

∴PE= PD，

解得，t= ．

【解析】（1）作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，根據勾股定理求出AB，用t表示出AD、PD，根據三角形的面積公式計算即可；（2）根據勾股定理列出算式，求出t的值；（3）①根據等邊三角形的三線合一列式計算即可；②設點Q的運動速度為a，根據等邊三角形的性質列式求出a，根據等邊三角形的性質、正切的概念計算即可．
【考點精析】通過靈活運用等邊三角形的性質和勾股定理的概念，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．